Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.39

12.39. (Всеукраїнська математична олімпіада, 1965 р.) З деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Довести, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.

Нехай X — довільна точка кола, О — центр кола, L і М — основи перпендикулярів, проведених з точки X до діагоналей

прямокутника ABCD. Тоді точки L і М належать деякому колу з діаметром ОХ ($\angle$XLO = $\angle$XMO = 90° — вписані кути, що спираються на діаметр).

За теоремою синусів $\frac{\mathrm{LM}}{\sin \mathrm{LXM}}$ = ОХ, де ОХ дорівнює двом радіусам добудованого кола.

Але $\angle$LXM = 180° – $\angle$LOM. Значить, LM = R sin(180° – $\alpha$) = Rsin $\alpha$

(R = OX, $\alpha$ = $\angle$LOM).

Оскільки R і $\alpha$ для даних кола і прямокутника твердження задачі доведено.