Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.35

12.35. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a см і b см. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

У ∆АВС $\angle$C = 90°, АС = а, ВС = b,

СD $\perp$ АВ.

За властивістю висоти, проведеної з вершини прямого кута до гіпотенузи

АС² = АD • АВ, ВС² = DВ • АВ, тобто

а² = АD • АВ, b² = DВ • АВ.

Звідси АD = а² : АВ, DB = b² : АВ. S_∆ACD = $\frac{1}{2}$CD • AD,

S_∆CDB = $\frac{1}{2}$CD • DB.

$\frac{S_{∆\mathrm{ACD}}}{S_{∆\mathrm{CDB}}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\mathrm{CD}•\mathrm{AD}}{\frac{1}{2}\mathrm{CD}•\mathrm{DB}}$ = $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}$ = $\frac{a^2•\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}•b^2}$ = $\frac{a^2}{b^2}$.

Відповідь: a² : b².