Завдання для перевірки знань 9 класу: 9

9. Дві сторони трикутника дорівнюють 1 см і 4$\sqrt{2}$ см. Знайдіть третю сторону, якщо вона у $\sqrt{2}$ разів більша за радіус кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

За наслідком з теореми синусів $\frac{\mathrm{АС}}{\sin B}$ = 2R. За умовою АС = $\sqrt{2}$R, тоді $\frac{\sqrt{2}R}{\sin B}$ = 2R, звідки sin B = $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ∠B = 45° або ∠В = 135°.

Якщо ∠В = 45°, то за теоремою косинусів

AC² = AB² + BC² – 2AB • BC • cos 45° = 1² + (4$\sqrt{2}$)² – 2 • 1 • 4$\sqrt{2}$ • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 1 + 32 – 8 = 25; AC = $\sqrt{25}$ = 5 (см).

Якщо ∠В = 135°, то

АС² = 1² + (4$\sqrt{2}$)² + 2 • 1 • 4$\sqrt{2}$ • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 1 + 32 + 8 = 41;

АС = $\sqrt{41}$ (см).

Відповідь: 5 см або $\sqrt{41}$ см.