Задачі підвищеної складності: 2

2. Доведіть, що координати точки M можна знайти за формулами:

Точка М(х; у) ділить відрізок АВ у відношенні АМ : МВ = λ.

Спроєктуємо точки A, B і М на вісь Ох. За узагальненою теоремою Фалеса

А’M’ : М’В’ = λ.

А’М’ = х – х₁, М’В’ = х₂ – х, тоді

$\frac{{x-x}_1}{x_2-x}$ = λ, звідки x – х₁ = λ(х₂ – х);

х – х₁ = λх₂ – хλ; х + хλ = x₁ + λх₂; x(1 + λ) = х₁ + λх₂;

x = $\frac{x_1+{\lambda x}_2}{1+\lambda }$. Аналогічно, спроєктувавши точки А, B і М на вісь Оу, отримаємо аналогічну формулу y = $\frac{y_1+{\lambda y}_2}{1+\lambda }$.