Задачі підвищеної складності: 4

4. Вершини трикутника ABC мають координати А (–4; –1), B(–1; 3), С(2; –1). Бісектриса кута А перетинає BC у точці N. Знайдіть координати точки N.

Довжини сторін АВ і АС:

АВ = $\sqrt{{(-1+4)}^2+{(3+1)}^2}$ = $\sqrt{3^2+4^2}$ = 5;

АС = $\sqrt{{(2+4)}^2+{(-1+1)}^2}$ = 6.

За властивістю бісектриси

$\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{BN}}$ = $\frac{6}{5}$ = 1,2 = λ.

Скористаємось для визначення координат

точки N(x; у) формулами з № 1132.

y = $\frac{-1+\mathrm{1,2}•3}{\mathrm{2,2}}$ = $\frac{\mathrm{2,6}}{\mathrm{2,2}}$ = $\frac{13}{11}$ = 1$\frac{2}{11}$; x = $\frac{2+\mathrm{1,2}•(-1)}{\mathrm{2,2}}$ = $\frac{2-\mathrm{1,2}}{\mathrm{2,2}}$ = $\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{2,2}}$ = $\frac{4}{11}$.

Відповідь: ($\frac{4}{11}$; 1$\frac{2}{14}$).