Задачі підвищеної складності: 73

73. Виразіть об’єм V конуса через його бічну поверхню S і відстань r від центра основи до твірної.

Дано: конус; Sб. = S OK $\perp$ AQ; OK = r.

Знайти: V.

Розв’язання

Sб = $\pi$Rl; $\pi$Rl = S; $\pi$R = $\frac{S}{l}$.

S_AOQ = $\frac{1}{2}$OA • QO = $\frac{1}{2}$Rh;

S_AOQ = $\frac{1}{2}$AQ • OK = $\frac{1}{2}$ l • r; $\frac{1}{2}$Rh = $\frac{1}{2}$lr |: $\frac{1}{2}$;

Rh = lr; h = $\frac{\mathrm{lr}}{R}$;

V = $\frac{1}{3}$ $\pi$R²h = $\frac{1}{3}$ $\pi$R² • $\frac{\mathrm{lr}}{R}$ = $\frac{1}{3}$($\pi$Rl)r = $\frac{1}{3}$Sr.

Відповідь: $\frac{1}{3}$Sr.