Задачі підвищеної складності: 72

72. Висота конуса дорівнює діаметру його основи. Знайдіть

відношення площі його основи до площі бічної поверхні.

Дано: конус; SO = AB.

Знайти: $\frac{S_{\mathrm{осн}}}{S_{б}}$.

Розв’язання

h = 2r.

$∆$AOS ($\angle$O = 90$°$):

l = $\sqrt{h^2+r^2}$ = $\sqrt{{\left(2r\right)}^2+r^2}$ = $\sqrt{{4r}^2+r^2}$ = $\sqrt{{5r}^2}$ = r$\sqrt{5}$.

Sосн = $\pi$r²;

Sб. = $\pi$rl = $\pi$r • r$\sqrt{5}$ = $\pi$r²$\sqrt{5}$.

$\frac{S_{\mathrm{осн}}}{S_{б}}$ = $\frac{{\pi r}^2}{{\pi r}^2\sqrt{5}}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $\frac{1•\sqrt{5}}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Відповідь: $\sqrt{5}$ : 5.