Задачі підвищеної складності: 69

69. Куб, ребро якого дорівнює а, зрізаний по кутах так, що від кожної грані залишився правильний восьмикутник. Знайдіть

об’єм утвореного многогранника.

Дано: куб з ребром а, зрізаний по кутах; грань – правильний 8–кутник.

Знайти: V_{многокутника.}

Розв’язання

Нехай від кута грані куба відрізають відрізок х, тоді сторона 8 – кутника дорівнює а – 2х, а

сторона зрізаного кута х$\sqrt{2}$.

Оскільки 8 – кутник правильний, то

a – 2x = x$\sqrt{2}$;

2x + x$\sqrt{2}$ = a;

x • (2 + $\sqrt{2}$) = a;

x = $\frac{a}{2+\sqrt{2}}$ = $\frac{a(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$ = $\frac{a(2-\sqrt{2})}{4-2}$ = $\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$;

Vкуба = а³;

Об’єм зрізаної піраміди:

V₁ = $\frac{1}{3}$ Sосн • h = $\frac{1}{3}$ • $\frac{1}{2}$x² • x = $\frac{1}{6}$x³.

8V₁ = 8 • $\frac{1}{6}$x³ = $\frac{4}{3}$x³.

V_{многокутника} = V – 8V₁ = a³ – $\frac{4}{3}$x³ = a³ – $\frac{4}{3}$ • ($\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}$)³ = a³ – $\frac{4}{3}$ • $\frac{a^3(2-\sqrt{2}{)}^3}{8}$ = a³ – $\frac{a^3(2-\sqrt{2}{)}^3}{6}$ = a³(1 – $\frac{{(2-\sqrt{2})}^3}{6}$) = a³(1 – $\frac{(2-\sqrt{2})(4-4\sqrt{2}+2)}{6}$) = a³(1 – $\frac{8-8\sqrt{2}+4-4\sqrt{2}+8-2\sqrt{2}}{6}$) = a³(1 – $\frac{20-14\sqrt{2}}{6}$) = a³ • $\frac{6-20+14\sqrt{2}}{6}$ = a³ • $\frac{14\sqrt{2}-14}{6}$ = $\frac{a^3•14•(\sqrt{2}-1)}{6}$ = $\frac{{7a}^3(\sqrt{2}-1)}{3}$.

Відповідь: $\frac{{7a}^3(\sqrt{2}-1)}{3}$.