Задачі підвищеної складності: 68

68. Знайдіть відстань між серединами двох мимобіжних ребер куба,

площа повної поверхні якого дорівнює 36 см².

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб; Sn.n. = 36 см²; М – середина АА₁; N – середина ВС.

Знайти: MN

Розв’язання

Sn.n. = 6a²; 6a² = 36; a² = 6; a = $\sqrt{6}$ см.

З’єднаємо М і В.

$∆$МАВ ($\angle$А = 90$°$):

MB² = AB² + AM² = a² + ($\frac{a}{2}$)² = a² + $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{{5a}^2}{4}$.

$∆$MBN ($\angle$B = 90$°$): MN² = MB² + BN² = $\frac{{5a}^2}{4}$ + ($\frac{a}{2}$)² = $\frac{{5a}^2}{4}$ + $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{{6a}^2}{4}$.

MN = $\sqrt{\frac{{6a}^2}{4}}$ = $\sqrt{\frac{{6•\left(\sqrt{6}\right)}^2}{4}}$ = $\sqrt{\frac{36}{4}}$ = $\sqrt{9}$ = 3 (см).

Відповідь: 3 см.