Задачі підвищеної складності: 65

65. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють а, b, с. Знайдіть: 1) бічну поверхню піраміди; 2) об’єм піраміди; 3) площу основи; 4) висоту.

Дано: SABC – піраміда; SA, SB, SC – попарно перпендикулярні. SA = a, SB = b, SC = c.

Знайти:

Розв’язання

1) бічну поверхню піраміди.

Sб. = S_ASB + S_BSC + S_ASC = $\frac{1}{2}$ SA • SB + $\frac{1}{2}$ SB • SC + $\frac{1}{2}$ SA • SC = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$bc + $\frac{1}{2}$ac = $\frac{1}{2}$(ab + bc + ac).

2) об’єм піраміди.

V = $\frac{1}{3}$Sосн • h = $\frac{1}{3}$S_ASB • SC = $\frac{1}{3}$ • $\frac{1}{2}$ab • c = $\frac{1}{6}$abc.

3) площу основи.

Sосн = $\sqrt{S_{\mathrm{ASB}}^2+S_{\mathrm{BSC}}^2+S_{\mathrm{ASC}}^2}$ = $\sqrt{(\frac{1}{2}\mathrm{ab}{)}^2+(\frac{1}{2}\mathrm{bc}{)}^2+(\frac{1}{2}\mathrm{ac}{)}^2}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}$.

4) висоту.

h = $\frac{3V}{S_{\mathrm{осн}}}$ = $\frac{3•\frac{1}{6}\mathrm{abc}}{\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$ = $\frac{\mathrm{abc}}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$ .

Відповідь: 1) $\frac{1}{2}$(ab + bc + ac); 2) $\frac{1}{6}$ abc; 3) $\frac{1}{2}$ $\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}$;

4) $\frac{\mathrm{abc}}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$.