Задачі підвищеної складності: 70

70. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює $\frac{269}{32}$ см. Основа піраміди –

трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см. 1) Доведіть, що основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо трикутника основи.

2) Знайдіть об’єм піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SA = SB = SC = $\frac{269}{32}$ cм; АВ = 13 см; ВС = 14 см; АС = 15 см.

Довести: основа висоти т. О є центром ор=писаного кола.

Знайти: V.

Доведення

Сполучимо основу висоти т. О з вершинами $∆$АВС. $∆$SOA = $∆$SOB = $∆$SOC за гіпотенузою і катетом. Отже, ОА = ОВ = ОС як відповідні сторони рівних трикутників. Тоді точка О рівновіддалена від усіх його вершин. Тому вона є центром кола, описаного навколо $∆$АВС.

V = $\frac{1}{3}$ Sосн • h; S$∆$ = $\sqrt{\left(p\right(p-a\left)\right(p-b\left)\right(p-c)}$.

p = $\frac{1}{2}$(AB + BC + AC) = $\frac{1}{2}$(13 + 14 + 15) = $\frac{1}{2}$ • 42 = 21 (см)

S_ABC = $\sqrt{21•(21-13)(21-14)(21-15)}$ = $\sqrt{21•8•7•6}$ = $\sqrt{7•3•4•2•7•2•3}$ = 7 • 3 • 4 = 84 (см²).

R = $\frac{\mathrm{abc}}{4S}$ = $\frac{13•14•15}{4•84}$ = $\frac{65}{8}$.

$∆$SOA ($\angle$O = 90$°$):

SO = $\sqrt{{\mathrm{SA}}^2-{\mathrm{OA}}^2}$ = $\sqrt{(\frac{269}{32}{)}^2-(\frac{65}{8}{)}^2}$ = $\sqrt{\frac{72361}{1024}-\frac{{4225}^{\backslash 16}}{64}}$ =

= $\sqrt{\frac{72361-67600}{1024}}$ = $\sqrt{\frac{4761}{1024}}$ = $\frac{69}{32}$.

V = $\frac{1}{3}$ • 84 • $\frac{69}{32}$ = $\frac{483}{8}$ = 60$\frac{3}{8}$ = 60,375 (см³).

Відповідь: 60,375 см³.