Задачі підвищеної складності: 75

75. У циліндр вписано кулю так, що вона дотикається до основ і бічної поверхні циліндра. Знайдіть відношення: 1) об’єму кулі до об’єму циліндра; 2) площі сфери до площі повної поверхні циліндра.

Дано: циліндр, описаний навколо кулі.

Знайти: відношення:

Розв’язання

1) $\frac{V_k}{V_{ц}}$; h = 2r.

Vк = $\frac{4}{3}$ $\pi$r³; Vц = $\pi$r²h = $\pi$r² • 2r = 2$\pi$r³;

$\frac{V_k}{V_{ц}}$ = $\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}$ = $\frac{2}{3}$; Vk : Vц = 2 : 3.

2) $\frac{S_k}{S_{ц}}$; Sk = 4$\pi$r²;

Sц = 2$\pi$r(h + r) = 2$\pi$r(2r + r) = 2$\pi$r • 3r = 6$\pi$r³;

$\frac{S_k}{S_{ц}}$ = $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$.

Відповідь: 1) 2 : 3; 2) 2 : 3.