Задачі підвищеної складності: 76

76. Трикутник зі сторонами 10 см, 17 см і 21 см обертається навколо

більшої сторони. Обчисліть: 1) об’єм утвореної фігури обертання;

2) поверхню утвореної фігури обертання.

Дано: $∆$АВС; АВ = 10 см; ВС = 17 см; АС = 21 см.

фігура, утворена обертанням навколо сторони АС.

Знайти:

Розв’язання

1) об’єм утвореної фігури обертання

S$∆$ = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;

p = $\frac{1}{2}$(AB + BC + AC) = $\frac{1}{2}$(10 + 17 + 21) = $\frac{1}{2}$ • 48 = 24 (см)

SABC = $\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}$ = $\sqrt{24•14•7•3}$ = $\sqrt{6•4•7•2•7•3}$ = 7 • 6 • 2 = 84 (см²).

S_ABC = $\frac{1}{2}$a • h_a = $\frac{1}{2}$AC • h; h = $\frac{2S}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{2•84}{21}$ = $\frac{168}{21}$ = 8 (см).

$∆$АНВ ($\angle$Н = 90$°$):

AH = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BH}}^2}$ = $\sqrt{{10}^2-8^2}$ = $\sqrt{100-64}$ = $\sqrt{36}$ = 6 (см).

HC = AC – AH = 21 – 6 = 15 (см).

Внаслідок обертання утворюються 2 конуси зі спільною основою радіуса 8 см.

h₁ = 6 см; l₁ = 10 см; r = 8 см.

h₂ = 15 см; l₂ = 17 см; r = 8 см.

V₁ = $\frac{1}{3}$ $\pi$r²h = $\frac{1}{3}$ $\pi$ • 8² • 6 = 128$\pi$ (см³);

V₂ = $\frac{1}{3}$ $\pi$r²h = $2$ $\pi$ • 8² • 15 = 320$\pi$ (см³);

V_ф. = V₁ + V₂ = 128$\pi$ + 320$\pi$ = 448$\pi$ (см³).

2) поверхню утвореної фігури обертання.

S₁ = $\pi$rl₁ = $\pi$ • 8 • 10 = 80$\pi$ (см²);

S₂ = $\pi$rl₂ = $\pi$ • 8 • 17 = 136$\pi$ (см²);

S = S₁ + S₂ = 80$\pi$ + 136$\pi$ = 216$\pi$ (см²).

Відповідь: 1) 448 см³; 2) 216$\pi$ см².