Задачі підвищеної складності: 77

77. У конус вписано кулю так, що вона дотикається до основи конуса і його бічної поверхні. Доведіть, що відношення повної поверхні конуса до поверхні кулі дорівнює відношенню їх об’ємів.

Дано: конус, описаний навколо кулі.

Довести: $\frac{S_k}{S_{\mathrm{кулі}}}$ = $\frac{V_k}{V_{\mathrm{кулі}}}$.

Доведення

S_ABC = $\frac{1}{2}$AC • BH = $\frac{1}{2}$ • 2R • h = RH;

p = HC + BC = R + l;

r = $\frac{S_{\mathrm{ABC}}}{p}$ = $\frac{\mathrm{RH}}{R+l}$; $\frac{H}{r}$ = $\frac{R+l}{R}$; R + l = $\frac{\mathrm{RH}}{r}$;

Sк = $\pi$R(R + l); Sкулі = 4$\pi$r²;

$\frac{S_k}{S_{\mathrm{кулі}}}$ = $\frac{\pi R(R+l)}{{4\pi r}^2}$ = $\frac{R(R+l)}{{4r}^2}$ = $\frac{R•\frac{\mathrm{RH}}{r}}{{4r}^2}$ = $\frac{R^{2}H}{{4r}^3}$.

Vk = $\frac{1}{3}$ $\pi$R²H; Vкулі = $\frac{4}{3}$ $\pi$r³.

$\frac{V_k}{V_{\mathrm{кулі}}}$ = $\frac{\frac{1}{3}\pi R^{2}H}{\frac{4}{3}{\pi r}^3}$ = $\frac{R^{2}H}{{4r}^3}$.

$\frac{S_k}{S_{\mathrm{кулі}}}$ = $\frac{V_k}{V_{\mathrm{кулі}}}$ = $\frac{R^{2}H}{{4r}^3}$.