Задачі підвищеної складності: 61

61. Складіть рівняння образу кривої х² – 4х + у² = 0 при повороті навколо початку координат на кут 60°: 1) за годинниковою стрілкою;2) проти годинникової стрілки.

x² – 4x + y² = 0; x² – 5x + 4 – 4 + y² = 0; (x – 2)² + y² = 4 – це коло з центром Р(2; 0) і R = 2.

При повороті за годинниковою стрілкою точка Р перейде у точку В(х’; у’), проти годинникової стрілки — у точку А(х; у). Розглянемо другий випадок. ОА = ОР = R, ∠АОР = 60°, тоді точка А належить даному колу, ∆АОР — рівносторонній. Проведемо АК ⊥ ОР. АК — висота і медіана ∆АОР.

ОК = $\frac{1}{2}$ОР = 1, х = 1. АК = у = ОА sin 60° = 2 • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$.

Отже, А (1; $\sqrt{3}$). Тоді образ кола: (x – 1)² + (у – $\sqrt{3}$)² = 4.

Точки А і В симетричні відносно осі абсцис, тому B(1; –$\sqrt{3}$).

Тоді рівняння образу: (х – 1)² + (у + $\sqrt{3}$)² = 4.

Відповідь: 1) (х – 1)² + (у + $\sqrt{3}$)² =4; 2) (х – 1)² + (у – $\sqrt{3}$)² = 4.