Задачі підвищеної складності: 60

60. На кожній медіані трикутника позначено точку, що ділить

медіану у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини трикутника. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша за площу початкового трикутника?

т. В₁ ділить відрізок ОВ у тому ж відношенні, що і А₁ ділить відрізок ОА. Тому А₁В₁ ∥ АВ, аналогічно B₁C₁ ∥ ВС; А₁С₁ ∥ АС. Щоб знаити

відношення $\frac{\mathrm{BC}}{B_1{C}_1}$, розглянемо ∆ОВ₁С₁ і ∆ОВС. Ці трикутники подібні (В₁С₁ ∥ ВС), $\frac{\mathrm{BC}}{B_1{C}_1}$ = $\frac{\mathrm{OB}}{O{B}_1}$.

OB становить $\frac{2}{3}$ медіани з вершини В; ВВ₁ становить $\frac{1}{4}$ цієї ж медіани BZ; тоді OB₁ = OB – BB₁ = $\frac{2}{3}$ – $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{12}$, тоді $\frac{\mathrm{OB}}{{\mathrm{OB}}_1}$ = $\frac{2}{3}$ : $\frac{5}{12}$ = $\frac{2•12}{3•5}$ = $\frac{8}{5}$, тоді BC : B₁C₁ = $\frac{8}{5}$ = 1,6, Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{ABC}}}{S_{{∆A}_1{B}_1{C}_1}}$ = (1,6)² = 2,56.

Тобто площа трикутника А₁В₁С₁ в 2,56 разів менша за площу даного трикутника.