Задачі підвищеної складності: 57

57. У трикутнику ABC на сторонах AB і BC позначено точки D і E так, що DE ∥ AC. Площа трикутника ABC дорівнює 8 см², а площа трикутника DEC дорівнює 2 см². Знайдіть відношення відрізка DE до сторони AC.

DE ∥ AC, тому ∆BDE ~ ∆BAC. Тоді $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{BM}}$ = $\frac{h_1}{H}$ (BK = h₁, BM = H).

BK ⊥ DE, BM ⊥ AC. CP ⊥ DE;

CP = H – h₁.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$AC • H = 8;

S_∆DEC = $\frac{1}{2}$DE • (H – h₁) = 2.

Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{DEC}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\mathrm{DE}•(H-h_1)}{\frac{1}{2}\mathrm{AC}•H}$ = $\frac{\mathrm{DE}(H-h_1)}{\mathrm{AC}•H}$ = $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$.

Враховуючи, що $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{h_1}{H}$, маємо $\frac{h_1(H-h_1)}{H•H}$ = $\frac{1}{4}$.

4h₁H – 4$h_1^2$ = H²;

2h₁H + 2h₁H – 4$h_1^2$ – H² = 0;

(2Hh₁ – H²) + (2Hh₁ – 4$h_1^2$) = 0;

H(2h₁ – H) – 2h₁(2h₁ – H) = 0;

(2h₁ – H)(H – 2h₁) = 0; –(H – 2h₁)² = 0, звідси H = 2h₁ або $\frac{h_1}{H}$ = $\frac{1}{2}$, тобто $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{1}{2}$.