Задачі підвищеної складності: 54

54. Сторона правильного трикутника дорівнює а. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює $\frac{a}{3}$. Знайдіть площу тієї частини трикутника, що лежить поза колом.

Щоб знайти площу зафарбованої частини трикутника, знайдемо площу однієї з трьох частин S₁. ∆ОВК — прямокутний.

ОB = R₃ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$; OK = r₃ = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$; ∠OBK = 30°; ∠BOK = 60°.

∆OFK – прямокутний.

cos ∠FOK = $\frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{OF}}$ = $\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, тоді ∠FOK = 30°, тоді ∠BOF = 60° – 30° = 30°.

З ∆FOK: FK = OF • sin 30° = $\frac{a}{3}$ • $\frac{1}{2}$ = $\frac{a}{6}$, тоді BF = BK – FK = $\frac{a}{2}$ – $\frac{a}{6}$ = $\frac{2a}{6}$ = $\frac{a}{3}$. Отже, ODBF — ромб.

Площу однієї зафарбованої фігури знайдемо як різницю площі ромба

і площі сектора, що відповідає центральному куту ∠DOF = 60°.

S_ромб. = OD • OF • sin ∠DOF = $\frac{a}{3}$ • $\frac{a}{3}$ • sin 60° = $\frac{a^2\sqrt{3}}{18}$;

S_сек. = $\frac{\pi •{\mathrm{OD}}^2}{360°}$ • 60° = $\frac{\pi •(\frac{a}{3}{)}^2}{6}$ = $\frac{{\pi a}^2}{54}$;

S₁ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{18}$ = $\frac{{\pi a}^2}{54}$ = $\frac{{3a}^2\sqrt{3}-{\pi a}^2}{54}$ = $\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{54}$.

S_фігури = 3 • S₁ = 3 • $\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{54}$ = $\frac{a^2(3\sqrt{3}-\pi )}{18}$.