Задачі підвищеної складності: 51

51. Центр кола, вписаного у прямокутний трикутник, лежить на відстанях $\sqrt{5}$ см і $\sqrt{10}$ см від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину

кола.

Нехай ∠А = α, тоді ∠В = 90° – α.

У ∆ОАВ ∠ОАВ = $\frac{\alpha }{2}$, ∠АВО = $\frac{90°-\alpha }{2}$ = 45° – $\frac{\alpha }{2}$, тоді ∠АОВ = 180° – ($\frac{\alpha }{2}$ + (45° – $\frac{\alpha }{2}$)) = 180° – $\frac{\alpha }{2}$ – 45° + $\frac{\alpha }{2}$ = 135°.

АО = $\sqrt{5}$ см, ВО = $\sqrt{10}$ см.

За теоремою косинусів

АВ = $\sqrt{{\mathrm{АО}}^2+{\mathrm{ВО}}^2-2\mathrm{АО}•\mathrm{ВО}•\cos 135°}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2+2\sqrt{5}•\sqrt{10}•\cos 45°}$ = $\sqrt{5+10+2•\sqrt{50}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\sqrt{15+\sqrt{100}}$ = $\sqrt{25}$ = 5.

Проведемо ОН ⊥ АВ, ОН = r. S∆AOB = $\frac{1}{2}$AB • OH, звідки

ОН = $\frac{{2S}_{∆\mathrm{AOB}}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{{2S}_{∆\mathrm{AOB}}}{5}$.

S_∆AOB = $\frac{1}{2}$AO • BO • sin AOB = $\frac{1}{2}$ • $\sqrt{5}$ • $\sqrt{10}$ • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{10}{4}$ (см²).

Отже, OH = r = $\frac{2•10}{4•5}$ = 1 (см). С = 2πr = 2π • 1 = 2π (см).

Відповідь: 2π см.