Задачі підвищеної складності: 48

48. Дано прямокутний трикутник з гіпотенузою 2 і гострим кутом 60°. Знайдіть спільну частину двох кругів, що проходять через вершину прямого кута, із центрами у вершинах гострих кутів.

У ∆АВС: ∠С = 90°; АВ = 2; ∠В = 60°, тоді ∠А = 30°.

два кола з центром у т. А і у т. В мають спільну хорду СК і спільну частину, яка складається з двох сегментів. Сегмент, який відрізає хорда СК від кола з центом А(S₁) і сегмент, який відрізає хорда СК

від кола з центром В(S₂).

З ∆ABC: CB = AB cos 60° = 2 • $\frac{1}{2}$ = 1; AC = AB sin 60° = $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$.

S₁ = $\frac{\pi •{\mathrm{AC}}^2}{360°}$ • (2 • 30°) – S_∆ACK = $\frac{\pi •(\sqrt{3}{)}^2}{6}$ – $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ • $\sqrt{3}$ sin 60° = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

S₂ = $\frac{\pi •{\mathrm{BC}}^2}{360°}$ • (2 • 60°) – S_∆CBK = $\frac{\pi •1^2}{3}$ – $\frac{1}{2}$ • 1 • 1 • sin 120° = $\frac{\pi }{3}$ – $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

S = S₁ + S₂ = $\frac{\pi }{2}$ – $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ + $\frac{\pi }{3}$ – $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\pi }{6}$ – $\frac{\sqrt{3}}{4}$(3 + 1) = $\frac{5\pi }{6}$ – $\sqrt{3}$.