Задачі підвищеної складності: 45

45. Навколо круга описано рівнобічну трапецію з основами а і b. Знайдіть площу круга.

Оскільки трапеція АВСD описана навколо кола, то АВ + СD = ВС + АD = а + b, тоді АВ = СD = $\frac{a+b}{2}$.

Проведемо СK ⊥ АD, СК = 2r.

З ∆СКВ КD = $\frac{b-a}{2}$,

CK = $\sqrt{(\frac{a+b}{2}{)}^2-(\frac{b-a}{2}{)}^2}$ = $\sqrt{\frac{a^2+2\mathrm{ab}+b^2-b^2+2\mathrm{ab}-a^2}{4}}$ = $\sqrt{\frac{4\mathrm{ab}}{4}}$ = $\sqrt{ab}$.

r = $\frac{1}{2}$CK = $\frac{\sqrt{\mathrm{ab}}}{2}$.

S = πr² = π • ($\frac{\sqrt{\mathrm{ab}}}{2}$) = π • $\frac{\mathrm{ab}}{4}$ = $\frac{\pi \mathrm{ab}}{4}$.

Відповідь: $\frac{\pi \mathrm{ab}}{4}$.