Задачі підвищеної складності: 42

42. У коло радіуса R вписано трикутник, вершини якого ділять коло на частини у відношенні 2 : 5 : 17. Знайдіть площу трикутника.

Нехай ∪АВ = 2х, ∪ВС = 5х, ∪АmС = 17х,

2х + 5х + 17х = 360°, х = 15°.

Тоді ∠AОВ = ∪АВ = 30°, ∠ВОС = ∪ВС = 75°,

∠АОС = ∠AОВ + ∠ВОС = 105°.

S_∆ABC = S_∆AOB + S_∆BOC – $\frac{1}{2}$R² sin 105°.

Оскільки sin 75° = sin 105°, то S_∆ABC = $\frac{R^2}{4}$.

Відповідь: $\frac{R^2}{4}$.