Задачі підвищеної складності: 41

41. Доведіть, що площу чотирикутника, вписаного в коло, можна обчислити за формулою де , b, , d – сторони чотирикутника, p – його півпериметр.

Нехай $\angle$D = $\alpha$, тоді $\angle$B = 180° – $\alpha$. Тоді S_ABCD = S_∆ABC + S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ab sin $\alpha$ + $\frac{1}{2}$cd sin ($\pi$ – $\alpha$) = $\frac{1}{2}$ab sin $\alpha$ + $\frac{1}{2}$cd sin $\alpha$ = $\frac{1}{2}$ (ab + cd) sin $\alpha$.

Тоді S² = $\frac{1}{4}$(ab + cd)²sin²α = $\frac{1}{4}$(ab + cd)²(1 – cos²α).

З ∆ACD за теоремою косинусів АС² = a² + b² – 2bc cos α.

З ∆АВС за теоремою косинусів АС² = с² + d² – 2сd сos(π – α) = c² + d² + 2cd cos α.

Тоді a² + b² – 2bc cos α = c2² + d² + 2cd cos α ⇒ a² + b² – c² – d² = 2(ab + cd) cos α, тоді cos α = $\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(\mathrm{ab}+\mathrm{cd})}$.

S² = $\frac{1}{4}$(ab + cd)²(1 – cos² α) = $\frac{1}{4}$(ab + cd)² • (1 – $\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2}{4(\mathrm{ab}+\mathrm{cd}{)}^2}$ = $\frac{1}{4}$((ab + cd)² – $\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2}{4}$) = $\frac{1}{16}$(4(ab + cd)² – (a² + b² – c² – d²)²) = $\frac{1}{16}$(2ab + 2cd + a² + b² – c² – d²) • (2ab + 2cd – a² – b² + c² + d²) = $\frac{1}{16}$((a + b)² – (c – d)²) • ((c + d)² – (a – b)²) = $\frac{1}{16}$(a + b + c + d – 2d) • (a + b + c + d – 2c) • (a + b + c + d – 2a) = $\frac{1}{16}$(2p – 2d)(2p – 2c)(2p – 2b) • (2p – 2a) = (p – a)(p – c)(p – b)(p – a).

Тоді S = $\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, де р – півпериметр.