Задачі підвищеної складності: 44

44. У трикутнику ABC через вершину А проведено пряму, що перетинає BC у точці D, причому $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ = α (α < 1). Через точку D проведено пряму, паралельну стороні AB, яка перетинає AC у точці E. Обчисліть відношення площі трикутника ABD до площі трикутника ECD.

DE ∥ AB за умовою, тоді ∠ABC = ∠EDC (відповідні при DE ∥ AB і січній ВС).

$\frac{S_{∆\mathrm{ABD}}}{S_{∆\mathrm{ECD}}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\mathrm{AB}•\mathrm{BD}\sin \angle \mathrm{ABD}}{\frac{1}{2}\mathrm{DE}•\mathrm{DC}\sin \angle \mathrm{EDC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}•\mathrm{BD}}{\mathrm{DE}•\mathrm{DC}}$.

ED ∥ AB, тому ∆АВС ~ ∆EDC.

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}$, тоді $\frac{S_{∆\mathrm{ABD}}}{S_{∆\mathrm{ECD}}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}$ • $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}$ • $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}$.

Так як $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ = α, то BD = BC • α;

DC = BC – BD = BC – BC • α = BC • (1 – α).

Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{ABD}}}{S_{∆\mathrm{ECD}}}$ = $\frac{\mathrm{BC}•\mathrm{BC}•\alpha }{{\mathrm{BC}}^2(1-\alpha {)}^2}$ = $\frac{\alpha }{{(1-\alpha )}^2}$.