Задачі підвищеної складності: 47

47. На сторонах правильного шестикутника зовні нього побудовано квадрати. Вершини квадратів, які не є вершинами шестикутника, з’єднано послідовно відрізками. 1) Доведіть, що дванадцятикутник, який при цьому утворився, є правильним. 2) Знайдіть площу дванадцятикутника, якщо сторона початкового шестикутника дорівнює α.

АВСDFК — правильний шестикутник.

Всі його внутрішні кути по 120°.

АВМL — квадрат. АВ = LМ = МВ = а.

∠АВС + ∠АВМ + ∠МВР + ∠РВС = 360°;

120° + 90° + ∠МВР + 90° = 360°; ∠МВР = 60°.

∆МВР — рівнобедрений, МВ = РВ як сторони рівних квадратів. Так як ∠МВР = 60°, то ∆МВР — рівносторонній. МВ = МР, але МВ = LМ, тобто всі сторони цього дванадцятикутника рівні і дорівнюють а.

∠МРD = 60° + 90° = 150°. Всі кути дванадцятикутника рівні, тоді цей дванадцятикутник — правильний. Площа дванадцятикутника складається з шестикутника (шість рівних рівносторонніх трикутників плюс шести трикутників ∆МВР тощо і 6 квадратів зі стороною а. Всі трикутника (на які розбили шестикутник і ті, які лежать між квадратами) між собою рівні, вони правильні зі стороною а.

Отже, S_{шестикут.} = 12S∆ + +6S_кв–т. = 12$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ + 6 • a² = 3a²$\sqrt{3}$ + 6a² = 3a²($\sqrt{3}$ + 2).