Задачі підвищеної складності: 50

50. У круг радіуса R вписано три круги одного й того самого радіуса так, що кожен з них дотикається до двох інших (мал. 215).

Обчисліть площу зафарбованої фігури.

Розглянемо ∆O₁O₂O₃. Він рівносторонній, O₁O₂ = O₂O₃ = O₁O₃ = r.

Тоді S_∆O1O2O3 = $\frac{{\left(2r\right)}^2\sqrt{3}}{4}$ = r²$\sqrt{3}$. Площа зафарбованої фігури дорівнює різниці площі трикутника і суми площ трьох секторів, які він відтинає від кожного вписаного круга. Їх площа S₁ = 3 • $\frac{{\pi r}^2}{360}$ • 60 = $\frac{{\pi r}^2}{2}$.

Тоді шукана площа

S = r²$\sqrt{3}$ – $\frac{{\pi r}^2}{2}$ = r²($\sqrt{3}$ – $\frac{\pi }{2}$).

Знайдемо r з ∆ОКО₃. ∠О₂ОО₃ = $\frac{360°}{3}$ = 120°. Врівнобедреному трикутнику О₂ОО₃ ОО₃ = R – r, OK – медіана і бісектриса, тому

∠О₃ОК = 120° : 2 = 60°.

З ∆ОКО3 sin 60° = $\frac{O_{3}K}{{\mathrm{OO}}_3}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{r}{R-r}$; R$\sqrt{3}$ – r$\sqrt{3}$ = 2r; R$\sqrt{3}$ = 2r + r$\sqrt{3}$;

R$\sqrt{3}$ = r(2 + $\sqrt{3}$);

r = $\frac{R\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ • $\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ = $\frac{R(2\sqrt{3}-3)}{4-3}$ = 2$\sqrt{3}$ – 3.

Відповідь: S = r²($\sqrt{3}$ – $\frac{\pi }{2}$), де r = R(2$\sqrt{3}$ – 3).