Задачі підвищеної складності: 52

52. На катетах прямокутного трикутника, як на діаметрах,

побудовано круги. Доведіть, що сума площ частин цих кругів, що лежать поза описаним навколо цього трикутника кругом, дорівнює площі трикутника.

∆АВС — прямокутний. На катетах як на діаметрах побудовані кола. На гіпотенузі як на діаметрі також побудоване коло (описане коло навколо прямокутного трикутника має діаметром гіпотенузу).

Необхідно знайти площу зафарбованої частини. Щоб знайти цю площу достатньо знайти суму площ півкругів, побудованих на катетах трикутника і від цієї суми відняти суму площ сегментів, які від кола, побудованого на гіпотенузі, відтинають

катети, як хорди. Для знаходження суми площ сегментів, достатньо від в півкруга, побудованого на гіпотенузі, відняти площу трикут–ника. Нехай а і b — катети трикутника, тоді гіпотенуза дорівнює

$\sqrt{a^2+b^2}$.

Площа півкруга, побудованого на катеті a, S₁ = $\frac{\pi (\frac{a}{2}{)}^2}{2}$ = $\frac{{\pi a}^2}{8}$. Площа півкруга, побудованого на катеті b, S₂ = $\frac{{\pi a}^2}{8}$. Сума площ сегментів:

S₃ = $\frac{\pi (\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}{)}^2}{2}$ – $\frac{1}{2}$ab = $\frac{\pi (a^2+b^2)}{8}$ – $\frac{1}{2}$ab = $\frac{\pi a^2}{8}$ + $\frac{{\pi b}^2}{8}$ – $\frac{1}{2}$ab.

S_ф. = S₁ + S₂ – S₃ = $\frac{\pi a^2}{8}$ + $\frac{\pi b^2}{8}$ – ($\frac{\pi a^2}{8}$ + $\frac{\pi b^2}{8}$ – $\frac{1}{2}$ab) = $\frac{1}{2}$ab = S_∆ABC.

Отже, S_ф = S_∆ABC.