Задачі підвищеної складності: 53

53. Навколо рівнобедреного трикутника з основою 6 см описано круг, довжина кола якого 10π см. Знайдіть відношення площі круга до площі трикутника.

1 випадок:

Даний трикутник — гострокутний.

S_кола = 2πR = 10π, звідси R = 5 (см).

S_круга = 26π см².

З ∆АОС знайдемо висоту ОК:

ОК = $\frac{{2S}_{∆}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{2\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}}{6}$ = $\frac{2\sqrt{8•3•3•2}}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4 (см).

Тоді ВК = 5 + 4 = 9 (см). S_∆ABC = $\frac{1}{2}$AC • BK = $\frac{1}{2}$ • 6 • 9 = 27 (см²).

$\frac{S_{\mathrm{круга}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{25\pi }{27}$.

2 випадок:

∆АВС – тупокутний. З ∆АОС знаходимо ОК:

ОК = $\frac{{2S}_{∆}}{\mathrm{AC}}$ = 4 (см) (аналогічно п. 1).

Тоді ВК = ОВ – ОК = 5 – 4 = 1 см.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$AC • BK = $\frac{1}{2}$ • 6 • 1 = 3 см².

S_кр. = 25π см². $\frac{S_{\mathrm{кр}.}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{25\pi }{3}$.