Задачі підвищеної складності: 56

56. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) проведено висоту CD. Радіуси кіл, вписаних у трикутники ACD і BCD, дорівнюють 3 см і 4 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

У ∆АВС: ∠С = 90°, СD ⊥ АВ; 3 см — радіус кола, вписаного у ∆АСD; 4 см — радіус кола, вписаного у ∆ВСD. ∆ВСD ~ ∆ВСА; ∆АСD ~ ∆АВС; ∆АDС ~ ∆СDВ. Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{ACD}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{3^2}{r^2}$ = $\frac{9}{r^2}$ (1); $\frac{S_{∆\mathrm{BCD}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{4^2}{r^2}$ = $\frac{16}{r^2}$ (2).

(1) + (2): $\frac{S_{∆\mathrm{ACD}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ + $\frac{S_{∆\mathrm{BCD}}}{S_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{9}{r^2}$ + $\frac{16}{r^2}$, звідси $\frac{25}{r^2}$ = 1, тоді r = 5 (см).