Задачі підвищеної складності: 40

40. Обчисліть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють a і b, а прилеглі до основи гострі кути дорівнюють $\alpha$ і $\beta$.

Проведемо BK $\perp$ AD; CM $\perp$ AD. BCMK – прямокутник; КМ = BC = b;

АК + МD = а – b. BK = CM = h.

З ∆ABK: AK = $\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{tg}\alpha }$ = $\frac{h}{\mathrm{tg}\alpha }$.

З ∆DCM: MD = $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{tg}\beta }$ = $\frac{h}{\mathrm{tg}\beta }$.

AK + MD = $\frac{h}{\mathrm{tg}\alpha }$ + $\frac{h}{\mathrm{tg}\beta }$ = h($\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$).

Так як AK + MD = a – b, то h$\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$ = a – b.

Звідси h = $\frac{(a-b)\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }$.

S = $\frac{1}{2}$ (a + b) • $\frac{(a-b)\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }$ = $\frac{(a^2-b^2)\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{2(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta )}$.

tg $\alpha$ = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$; tg $\beta$ = $\frac{\sin \beta }{\cos \beta }$.

Якщо замінити tg $\alpha$ і tg $\beta$, то після спрощення одержимо $\frac{(a^2-b^2)\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{2(\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta )}$.