Задачі підвищеної складності: 37

37. Усередині рівностороннього трикутника ABC дано точку M так, що AM = 1 см, BM = 2 см, ∠AMB = 120°. Знайдіть CM.

З ∆АВМ: AB = $\sqrt{2^2+1^2-2•2•1•\cos 120°}$ = $\sqrt{7}$ (см), тоді ВС = $\sqrt{7}$.

З ∆ABM: cos $\angle$BAM = $\frac{(\sqrt{7}{)}^2+1^2-2^2}{2•1•\sqrt{7}}$ = $\frac{2}{\sqrt{7}}$.

Якщо $\angle$BAM = $\alpha$, то $\angle$ABM = 180 – 120 – $\alpha$ = 60 – $\alpha$, тоді $\angle$MBC = $\angle$B – $\angle$ABM = 60° – (60° – $\alpha$) = $\alpha$.

Тобто $\angle$MBC = $\angle$BAM = $\alpha$, тоді cos $\angle$MBC = cos $\angle$BAM = $\frac{2}{\sqrt{7}}$.

З ∆MBC: MC = $\sqrt{{\mathrm{BM}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{BM}•\mathrm{BC}•\cos \angle \mathrm{MBC}}$ = $\sqrt{2^2+(\sqrt{7}{)}^2-2•2•\sqrt{7}•\frac{2}{\sqrt{7}}}$ = $\sqrt{11-8}$ = $\sqrt{3}$ (см).