Задачі підвищеної складності: 36

36. Площа трикутника дорівнює S, а довжини двох його сторін – a і b. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між даними сторонами.

Нехай S₁ і S₂ — площі трикутників, на які бісектриса ділить даний

трикутник. Бісектриса ділить сторону на частини, пропорційні а і b,

висота у цих трикутників спільна. Отже $\frac{S_1}{S_2}$ = $\frac{a}{b}$ і S₁ + S₂ = S.

S₂ = $\frac{S_{1}b}{a}$, тоді S₁ + $\frac{S_{1}b}{a}$ = S; $\frac{S_{1}a+S_{2}b}{a}$ = S; $\frac{S_1(a+b)}{a}$ = S; S₁ = $\frac{\mathrm{aS}}{a+b}$;

S₂ = $\frac{\mathrm{aSb}}{(a+b)•a}$ = $\frac{\mathrm{bS}}{a+b}$. S₁ = $\frac{\mathrm{aS}}{a+b}$, S₂ = $\frac{\mathrm{bS}}{a+b}$.

Відповідь: S₁ = $\frac{\mathrm{aS}}{a+b}$, S₂ = $\frac{\mathrm{bS}}{a+b}$.