Задачі підвищеної складності: 35

35. Медіани AM₁ і BM₂ трикутника ABC дорівнюють 9 см і 15 см відповідно, M – точка перетину медіан, $\angle$AMB = 120°. Знайдіть довжину третьої медіани.

Розглянемо ∆AMB.

MB = $\frac{2}{3}$BM₂ = $\frac{2}{3}$ • 15 = 10 (см),

АM = $\frac{2}{3}$AM₁ = $\frac{2}{3}$ • 9 = 6 (cм). $\angle$AMB = 120°.

За теоремою косинусів

AB= $\sqrt{{\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BM}}^2-2\mathrm{AM}•\mathrm{BM}•\cos 120°}$ = $\sqrt{6^2+{10}^2+2•6•10•\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{36+100+60}$ = $\sqrt{196}$ = 14 (см).

За формулою медіани:

MM₃ = $\frac{1}{2}\sqrt{2•{\mathrm{AM}}^2+2{\mathrm{BM}}^2-{\mathrm{AB}}^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{2•6^2+2•{10}^2-{14}^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{72+200-196}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{76}$ = $\frac{1}{2}$ • 2$\sqrt{19}$ = $\sqrt{19}$ (см).

Але ММ₃ – це $\frac{1}{3}$ СМ₃, тоді CM₃ = 3$\sqrt{19}$ см.

Відповідь: 3$\sqrt{19}$ см.