Задачі підвищеної складності: 38

38. Кут при вершині C рівнобедреного трикутника ABC у 4 рази більший за кут при основі. На стороні AB взято точку M таку, що

AM : MB = 1 : 2. Знайдіть $\angle$ACM.

$\angle$A = $\angle$B = x, $\angle$C = 4x. x + x = 4x = 180°; x = 30°.

Тоді $\angle$A = $\angle$B = 30°; $\angle$C = 120°.

Нехай AC = x, тоді CB = x.

AB = $\sqrt{x^2+x^2-2x•x•\cos 120°}$ = $\sqrt{{3x}^2}$ = x$\sqrt{3}$. Тоді AM = $\frac{1}{3}$AB = $\frac{x\sqrt{3}}{3}$.

З ∆АСМ: СМ = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AM}}^2-2•\mathrm{АС}•\mathrm{АМ}•\cos 30°}$ = $\sqrt{x^2+\frac{x^2}{3}-2x•\frac{x}{\sqrt{3}}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{x\sqrt{3}}{3}}$, тоді AM = CM.

∆ACM – рівнобедрений. $\angle$ACM = $\angle$CAM = 30°.