Задачі підвищеної складності: 39

39. На сторонах BC і CD квадрата ABCD взято відповідно

точки M і N так, що BM = $\frac{1}{2}$BC і DN = $\frac{1}{3}$DC. Доведіть, що $\angle$MAN = 45°.

Нехай AB = x, тоді BM = MC = $\frac{1}{2}$x;

CN = $\frac{2}{3}$x; DN = $\frac{1}{3}$x.

З ∆АВМ: АM² = x² + $\frac{1}{4}$x² = $\frac{5}{4}$x²;

AM = x$\sqrt{\frac{5}{4}}$.

З ∆ADN: AN² = x² + $\frac{1}{9}$x² = $\frac{10}{9}$x²;

AN = x$\sqrt{\frac{10}{9}}$.

З ∆MCN: MN² = $\frac{1}{4}$x² + $\frac{4}{9}$x² = $\frac{25}{36}$x²; AM = $\frac{5}{6}$x.

З ∆AMN за теоремою косинусів: cos $\angle$MAN = $\frac{{\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{AN}}^2-{\mathrm{MN}}^2}{2\mathrm{AM}•\mathrm{AN}}$ = $\frac{\frac{5}{4}{x}^2+\frac{10}{9}{x}^2+\frac{25}{36}{x}^2}{{2x}^2\sqrt{\frac{5}{4}•\frac{10}{9}}}$ = $\frac{\frac{60}{36}{x}^2}{2x^2•\frac{5\sqrt{2}}{6}}$ = $\frac{10•6}{6•10\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Звідси $\angle$MAN = 45°.