Задачі підвищеної складності: 30

30. Точки M₁ і M₂ лежать на прямій ax + by + c = 0. Доведіть, що вектор $\overline{M_1{M}_2}$ перпендикулярний до вектора $\vec{p}$(а; b).

Нехай M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; у₂), тоді $\overline{M_1{M}_2}$(х₂ – x₁; у₂ – у₁).

За умовою точки М₁ і М₂ лежать на прямій, значить, їх координати задовольняють її рівняння: ax₁ + by₁ + c = 0,

ах₂ + bу₂ + с = 0.

Віднімемо перше рівняння системи від другого. ах₂ – ах₁ + bу₂ – bу₁ = 0; а(х₂ – x₁) + b(у₂ – y₁) = 0.

Знайдемо скалярний добуток векторів. $\overline{M_1{M}_2}$ • р(а; b) = а(х₂ – х₁) + b(у₂ – у₁).

Але ми тільки що показали, що цей вираз дорівнює 0.

Отже, $\overline{M_1{M}_2}$ • $\bar{p}$ = 0, значить, $\overline{M_1{M}_2}$ $\perp$ $\bar{p}$.