Задачі підвищеної складності: 28

28. Доведіть за допомогою векторів, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.

1) З ∆CBD: CD = CB + BD.

Нехай k = BD : BA, тоді BD = k • BA. (1)

CD = CB + k • BA, CD = CB + k • (CA – CB) = CB + k • CA – k • CB;

CD = CB + k • CA – k • CB.

2) З ∆CAD: AD = BA – BD = BA – k • BA = (1 – k) • BA. (2)

Враховуючи (1) і (2), маємо: AD : BD = (1 – k) • BA : (k • BA) = (1 – k) : k.

3) CK = $\frac{1}{\mathrm{CA}}$ • CA + $\frac{1}{\mathrm{CB}}$ • CB; CD || CK, тому $\frac{1}{\mathrm{CA}}$ : $\frac{1}{\mathrm{CB}}$ = k : (1 – k).

Звідси CA : CB = (1 – k) : k або CA : CB = AD : DB.