Задачі підвищеної складності: 29

29. Доведіть, що вектор $\vec{p}$ = $\vec{b}$ ($\vec{a}$ $\vec{c}$) – $\vec{c}$($\vec{a}$ $\vec{b}$) перпендикулярний до вектора $\vec{a}$.

$\bar{a}\bar{p}$ = $\bar{a}$ ($\bar{b}$($\bar{a}\bar{c}$) – $\bar{c}$ ($\bar{a}\bar{b}$)) = $\bar{a}$ • $\bar{b}$($\bar{a}\bar{c}$) – $\bar{a}$ • $\bar{c}$($\bar{a}\bar{b}$).

|$\bar{a}$| • |$\bar{b}$| • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{b}$) • |$\bar{a}$| • |$\bar{c}$| • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{c}$) – |$\bar{a}$| • |$\bar{c}$| • cos$\angle$($\bar{a}$, $\bar{c}$) • |$\bar{a}$| • |$\bar{b}$| • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{b}$).

Оскільки всі величини в цьому виразі скалярні, можемо застосувати

відомі властивості множення і додавання.

l$\bar{a}$|² • |$\bar{b}$| • |$\bar{c}$|cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{b}$) • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{c}$) – l$\bar{a}$|² • |$\bar{b}$| • |$\bar{c}$| • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{b}$) • cos $\angle$($\bar{a}$, $\bar{c}$) = 0.

Отже, $\bar{a}\bar{p}$ = 0, значить, $\bar{a}$ $\perp$ $\bar{p}$.