Задачі підвищеної складності: 27

27. Доведіть за допомогою векторів, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться цією точкою у відношенні

2 : 1, рахуючи від вершини.

Нехай у ∆ABC його медіани AD і ВС перетинаються в точці О.

$\overline{\mathrm{AD}}$ = $\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}$ + $\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AC}}$ (якби ми

знаходили суму $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$ за правилом паралелограма, то точка D була б точкою перетину його діагоналей, а вектор $\overline{\mathrm{AD}}$ відповідно — половині

суми). Але точка О лежить на відрізку АО: $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{\lambda }{2}\overline{\mathrm{AB}}$ + $\frac{\lambda }{2}\overline{\mathrm{AC}}$. Аналогічно BO = kBE, 0 < k <1, $\overline{\mathrm{BE}}$ = $\overline{\mathrm{AE}}$ – $\overline{\mathrm{AB}}$, $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{BO}}$.

Звідси $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\overline{\mathrm{AB}}$ + k($\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{2}$ – $\overline{\mathrm{AB}}$) = $\frac{k}{2}\overline{\mathrm{AC}}$ + (1 – k)$\overline{\mathrm{AB}}$.

Тоді (1 – k)$\overline{\mathrm{AB}}$ + $\frac{k}{2}\overline{\mathrm{AC}}$ = $\frac{\lambda }{2}\overline{\mathrm{AB}}$ + $\frac{\lambda }{2}\overline{\mathrm{AC}}$, (1 – k – $\frac{\lambda }{2}$) $\overline{\mathrm{AB}}$ = ($\frac{\lambda }{2}$ + $\frac{k}{2}$)$\overline{\mathrm{AC}}$.

Але $\overline{\mathrm{AB}}$ і $\overline{\mathrm{AC}}$ не колінеарні, і ця рівність можлива лише при одночасному виконанні рівностей λ = k,

k + $\frac{\lambda }{2}$ = 1.

Звідки λ = k = $\frac{2}{3}$. Отже, $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{\mathrm{AD}}$ і $\overline{\mathrm{BO}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{\mathrm{BE}}$. Замінивши в міркуваннях $\overline{\mathrm{BE}}$ на $\overline{\mathrm{CF}}$, ми знову отримаємо, що ці медіани перетинаються в точці відрізка AD, віддаленого від точки А на $\frac{2}{3}$, тобто в точці О. Таким чином, всі три медіани перетинаються в точці О і при цьому AO = $\frac{2}{3}$AD, BO = $\frac{2}{3}$BE, CO = $\frac{2}{3}$СЕ.