Задачі підвищеної складності: 26

26. Доведіть за допомогою векторів, що три висоти трикутника (або їхні продовження) перетинаються в одній точці.

Дві висоти ∆АВС: ВК і СМ перетинаються в т. О. Доведемо, що висота, проведена з вершини А, проходить через т. О. Для цього знайдемо добуток ОА • ВС.

ОА • ВС = ОА • (ВА + АС) = (OM + МА) • BA + (OK + КА) • АС = OM • ВA + МА • ВA + ОК • AС + KA • AC = MA • ВA + KA • AC = (CA – CM) • ВA + (BA – BK) • AC = CA • ВA – CM • ВA + BA • AC – BK • AC = CA • ВA + BA • AC = CA • ВA – BA • CA = 0.

Отже, $\overline{\mathrm{OA}}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{BC}}$. Тобто висота з вершини А проходить через О.