Задачі підвищеної складності: 24

24. Через точку O перетину діагоналей AC і BD трапеції ABCD (AB || CD) проведено пряму, паралельну основам, яка перетинає бічні сторони AD і BC у точках M і N. Доведіть, що, де AB = a, CD = b.

∆ADB ~ ∆DО, звідси $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MO}}$ = $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DO}}$ = $\frac{\mathrm{DO}+\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}$ = 1 + $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}$ = 1 + $\frac{a}{b}$.

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MO}}$ = $\frac{a+b}{b}$ або $\frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{AM}}$ = $\frac{b}{a+b}$. (1)

Оскільки MO || AB, то MO = n • AB. З рівності (1): MO становить від AB$\frac{b}{a+b}$ частину. MO = AB • $\frac{b}{a+b}$. Аналогічно: ON = $\frac{a}{a+b}$ • DC. MN = MO + ON = $\frac{b•\mathrm{AB}}{a+b}$ + $\frac{a•\mathrm{DC}}{a+b}$ = $\frac{b•\mathrm{AB}+a•\mathrm{DC}}{a+b}$.