Задачі підвищеної складності: 22

22. Дано два паралелограми ABCD і AB₁C₁D₁, які мають спільну вершину А. Доведіть, що CC₁ $\le$ BB₁ + DD₁.

$\overline{{\mathrm{AC}}_1}$ = $\overline{{\mathrm{AB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{AD}}_1}$; $\overline{\mathrm{AC}}$ = $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AD}}$ за правилом паралелограма. Тоді

$\overline{{\mathrm{AC}}_1}$ – $\overline{\mathrm{AC}}$ = $\overline{{\mathrm{AB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{AD}}_1}$– $\overline{\mathrm{AB}}$ – $\overline{\mathrm{AD}}$ = $\overline{{\mathrm{AB}}_1}$ – $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{{\mathrm{AD}}_1}$ – $\overline{\mathrm{AD}}$ = $\overline{{\mathrm{BB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{DD}}_1}$.

Оскільки $\overline{{\mathrm{AC}}_1}$ – $\overline{\mathrm{AC}}$ = $\overline{{\mathrm{CC}}_1}$, то $\overline{{\mathrm{CC}}_1}$= $\overline{{\mathrm{BB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{DD}}_1}$.

Тоді за нерівністю трикутника $\overline{{\mathrm{CC}}_1}$ $\le$ $\overline{{\mathrm{BB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{DD}}_1}$.