Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності: 20

Готова відповідь до завдання 20 з ГДЗ Геометрія 9 клас Істер 2026.

Геометрія, 9 клас · Задачі підвищеної складності

Текстова відповідь

20. Якого найменшого значення може набувати вираз.

$\sqrt{x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 25}$ + $\sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 5}$ = $\sqrt{{(x}^{2} - 6 x + 9) + {(y}^{2} + 8 y + 16)}$ + $\sqrt{{(x}^{2} + 2 x + 1) + {(y}^{2} - 4 y + 4}$ = $\sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2}}$ + $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}}$ .

Цей вираз — сума відстаней від деякої точки М(х: у) до точок

А(3; –4) і В(–1; 2). Він набуватиме найменшого значення, коли точка М належатиме відрізку АВ: АВ = АМ + МВ.

АВ = $\sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(- 4 - 2)}^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} + 6^{2}}$ = $\sqrt{16 + 36}$ = $\sqrt{52}$ = $\sqrt{4 • 13}$ = 2 $\sqrt{13}$ .

Відповідь: 2 $\sqrt{13}$ .