Задачі підвищеної складності: 17

17. З точки A(1; 6) до кола х² + у² + 2х – 19 = 0 проведено

дотичні. Складіть рівняння цих дотичних.

x² + у² + 2х – 19 = 0; (х + 2х + 1) – 1 + у² – 19 = 0;

(х + 1)² + у² – 20 = 0 — рівняння кола,

у – 6 = k(х – 1), х = k(у – 6) + 1 — рівняння прямої.

(x + 1)² + у² – 20 = 0, – система для знаходження k.

х = k(у – 6) + 1

(k(у – 6) + 2)² + у² – 20 = 0;

k²(у – 6)² + 4k(у – 6) + 4 + у² – 20 = 0;

k²(у² – 12у + 36) + 4k(у – 6) + 4 + у² – 20 = 0;

k²у² – 12k²у + 36k² + 4ky – 24k + 4 + у² – 20 = 0;

(k² + 1)у² + (4k + 12k²)y + (36k² – 24k – 16) = 0.

Щоб коло і пряма мали лише одну спільну точку (дотикалися), рівняння повинно мати 1 корінь, тобто D = 0.

D = (4k – 12k²)² – 4(k² + 1)(36k² – 24k – 16) = 0;

16k² – 96k³ + 144k⁴ – 4(36k⁴ – 24k³ – 16k² + 36k² – 24k – 16) = 0;

–64k² + 96k + 64 = 0; 2k² – 3k – 2 = 0.

D₁ = 9 + 4 • 2 • 2 = 25. k₁ = $\frac{3+5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2; k₂ = $\frac{3-5}{4}$ = –$\frac{1}{2}$.

Отже, x = 2(y – 6) + 1; x = 2y – 12 + 1;

x – 2y + 11 = 0 або x = –$\frac{1}{2}$ (y – 6) + 1;

2x = –у + 6 + 2; 2x + у – 8 = 0.

Відповідь: х – 2у + 11 = 0 або 2х + у – 8 = 0.