Задачі підвищеної складності: 15

15. Складіть рівняння кола радіуса 10, що дотикається до кола х² + у² – 10у = 0 у точці А(3; 1).

Кола можуть мати зовнішній і внутрішній дотик.

Перепишемо рівняння даного кола:

х² + у² – 10у = 0; x² + у² – 2 • 5у + 25 – 25 = 0; х² + (у – 5)² = 25.

З рівняння видно, що центр даного кола O(0; 5), а радіус r = 5.

І випадок. Кола мають зовнішній дотик. Тоді центр другого кола О₁ лежить на прямій ОА. Знайдемо його координати, виходячи з того, що ОА : АО₁ = 5 : 10 = 1 : 2. Скористаємось формулами, доведеними у №12. Нехай О₁(x; y).

Тоді 3 = $\frac{x+2•0}{1+2}$; x = 9. 1 = $\frac{y+2•5}{1+2}$; у + 10 = 3; у = –7. Отже,0,(9; –7). Тоді рівняння шуканого кола: (х – 9)² + (у + 7)² = 100.

IІ випадок. Кола мають внутрішній дотик. Тоді центр O₂ другого кола є кінцем діаметра, проведеного через точки О і А, оскільки коло проходить через точку А, а його радіус вдвічі більший радіуса даного кола. Тому О — середина О₂А. Нехай O₂(х; у),

тоді 0 = $\frac{x+3}{2}$; х = –3; 5 = $\frac{y+1}{2}$; y + 1 = 10; y = 9.

Отже, O₂(–3; 9 ). Рівняння шуканого кола: (х + З)² + (у – 9)² = 100.

Відповідь: (х – 9)² + (у + 7)² = 100 або (х + З)² + (у – 9)² = 100.