Задачі підвищеної складності: 16

16. За яких значень k пряма у = kx – 5 і коло х² + у² = 9: 1) мають одну спільну точку; 2) мають дві спільні точки; 3) не мають спільних точок.

Щоб перевірити, чи мають коло і пряма спільні точки, розв’яжемо систему рівнянь х² + у² = 9, х² + (kх – 5)² = 9,

у = kх – 5; у = kх – 5.

Розглянемо перше рівняння. х² + k²х² – 10kх + 25 – 9 = 0;

(1 + k²)х² – 10kх + 16 = 0.

Отримали квадратне рівняння.

D = b² – 4ас = 100k² – 4(1 + k²) • 16 = 100k² – 64 – 64k² = 36k² – 64.

1) Рівняння матиме один розв’язок, а пряма і коло — одну спільну точку, якщо D = 0. 36k² – 64 = 0; k² = $\frac{4}{36}$, k = ± $\frac{4}{3}$.

2) Рівняння матиме два розв’язки, а пряма і коло, відповідно, – дві

спільні точки при D > 0. 36k² – 64 > 0; 36k² > 64;

k² > $\frac{64}{36}$; |k| > $\frac{4}{3}$, k < –$\frac{4}{3}$ або k > $\frac{4}{3}$.

3) Рівняння не має розв’язків, а коло і пряма спільних точок, якщо

D < 0. 36k² – 64 < 0; k² < $\frac{64}{36}$; |k| < $\frac{8}{6}$; –$\frac{4}{3}$ < k < $\frac{4}{3}$.

Відповідь: 1) k = ±$\frac{4}{3}$; 2) k < –$\frac{4}{3}$ або k > $\frac{4}{3}$; 3) –$\frac{4}{3}$ < k < $\frac{4}{3}$.