Задачі підвищеної складності: 19

19. На колі х² + у² – 26x + 30y + 313 = 0 знайдіть найближчу до точки А(3; 9) точку В. Знайдіть відстань від точки А до точки.

x² + у² – 26x + 30у + 313 = 0;

(x² – 26x + 169) – 169 + (у² + 30y + 225) – 225 + 313 = 0;

(x – 13)² + (у + 15)² = 81.

Отже, центр кола O(13; –15), радіус R = 9. Точка B знаходиться на перетині кола з відрізком АО.

АО = $\sqrt{{(13-3)}^2+{(-15-9)}^2}$ = $\sqrt{{10}^2+{24}^2}$ = $\sqrt{100+576}$ = $\sqrt{676}$ = 26;

АВ = АО – R = 26 – 9 = 17.

Рівняння прямої АО: $\frac{x-3}{13-3}$ = $\frac{y-9}{-15-9}$; $\frac{x-3}{5}$ = $\frac{y-9}{-12}$;

–12x + 36 = 5y – 45; 5у = –12x + 81; у = –24x + 16,2. Знайдемо координати точки В.

(x – 3)² + (y – 9)² = 289,

y = –2,4x + 16,2.

x² – 6x + 9 + (–2,4x + 7,2)² = 289;

x² – 6x +9 + 5,76x² – 34,56x + 51,84 – 289 = 0;

6,76x² – 40,56x – 228,16 = 0; 169x² – 1014x – 5704 = 0.

D = 1 028 196 + 3 855 904 = 4 884 100 = 2210².

x = $\frac{1014+2210}{2•169}$ = $\frac{124}{13}$ = 9$\frac{7}{13}$; y = –2,4 • 9$\frac{7}{13}$ + 16,2 = –6$\frac{9}{13}$.

Відповідь: В(9$\frac{7}{13}$; –6$\frac{9}{13}$).