Задачі підвищеної складності: 14

14. Точка A(1; 0) лежить на колі із центром у початку координат і є вершиною правильного трикутника, уписаного в це коло. Знайдіть координати двох інших вершин трикутника.

∆АВС — правильний, вписаний в коло.

Тоді АО = R, КО = r, але R = 2r. Отже,

ОК = $\frac{1}{2}$R. А радіус кола дорівнює 1, оскільки центр його збігається з початком координат, а А(1; 0). Значить, K(–$\frac{1}{2}$; 0). Отже, вершини В і С лежать на прямій х = –$\frac{1}{2}$ і мають абсциси, рівні –$\frac{1}{2}$, але протилежні ординати. Останнє випливає з рівності трикутників АСК і АВК за спільним катетом АК і рівними гіпотенузами: АС = АВ.

У ∆АКС АК = АО + ОК = 1,5; $\angle$САК = $\frac{1}{2}\angle$А = 30°, тоді

СК = АК • tg30° = 1,5 • $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тоді B(–$\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$), a C(–$\frac{1}{2}$; –$\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Відповідь: (–$\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$); (–$\frac{1}{2}$; –$\frac{\sqrt{3}}{2}$).