Задачі підвищеної складності: 25

25. Дано трикутник ABC, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$(3; 4), $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (–5; 12), BL – бісектриса трикутника. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{\mathrm{BL}}$.

|$\overline{\mathrm{AB}}$| = $\sqrt{3^2+4^2}$ = $\sqrt{9+16}$ = 5;

|$\overline{\mathrm{BC}}$| = $\sqrt{{(-5)}^2+{12}^2}$ = $\sqrt{25+144}$ = $\sqrt{169}$ = 13.

Тоді за властивістю бісектриси трикутника

$\frac{\mathrm{CL}}{\mathrm{LA}}$ = $\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{13}{5}$.

Маємо: $\overline{\mathrm{BL}}$ – $\overline{\mathrm{BC}}$ = $\overline{\mathrm{CL}}$. Оскільки CL = $\frac{13}{5+13}$CA, то $\overline{\mathrm{CL}}$ = $\frac{13}{5+13}$ $\overline{\mathrm{CA}}$.

$\overline{\mathrm{BL}}$ – $\overline{\mathrm{BC}}$ = $\frac{13}{5+13}$ $\overline{\mathrm{CA}}$. Оскільки $\overline{\mathrm{CA}}$ = $\overline{\mathrm{BA}}$ – $\overline{\mathrm{BC}}$, то

$\overline{\mathrm{BL}}$ – $\overline{\mathrm{BC}}$ = $\frac{13}{5+13}$ ($\overline{\mathrm{BA}}$ – $\overline{\mathrm{BC}}$); $\overline{\mathrm{BL}}$ = $\overline{\mathrm{BC}}$ – $\frac{13}{5+13}$ $\overline{\mathrm{BC}}$ + $\frac{13}{5+13}$ $\overline{\mathrm{BA}}$;

$\overline{\mathrm{BL}}$ = $\frac{5}{5+13}$ $\overline{\mathrm{BC}}$ + $\frac{13}{5+13}$ $\overline{\mathrm{BA}}$ = $\frac{5}{18}$ • $\overline{\mathrm{BC}}$ + $\frac{13}{18}$ • $\overline{\mathrm{BA}}$ = $\bar{a}$ (–$\frac{25}{18}$; $\frac{60}{18}$) + $\bar{b}$ (–$\frac{39}{18}$; –$\frac{52}{18}$) = $\overline{\mathrm{BL}}$ (–$\frac{64}{18}$; $\frac{8}{18}$) = $\overline{\mathrm{BL}}$ (–3$\frac{5}{9}$; $\frac{4}{9}$).

Відповідь: $\overline{\mathrm{BL}}$ (–З$\frac{5}{9}$; $\frac{4}{9}$).