Вправи: 828

828. У рівнобічну трапецію вписано круг, площа якого дорівнює

48π см². Знайдіть площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

ABCD — трапеція, AD ∥ BC, AB = CD.

∠А = ∠D = 60°. Площа вписаного кола 48π cм².

Тоді його радіус r² = 48ππ;

r = ОР = 48 = 16 •3 = 43 (см).

h = 2r = 2 • 43 = 83 (см).

У ∆АОР ∠OAP = 12∠A = 30° (∆AОR = ∆АОР за катетом і гіпотенузою). Отже, АР = OPtg30° = ОР3 • 43 • 3 = 12 (см), AD = 2АР = 24 см.

Проведемо ВН ⊥ AD, тоді НВКР — прямокутник.

Нехай HP = ВК = х. см, тоді АН = АР – х = 12 – х (см).

З ∆АВН АВ = AHcos30° = 2АH = 24 – 2х (см).

Оскільки в трапецію вписано коло, то АВ + CD = ВС + AD, де ВС =

= 2х. Тоді (24 – 2х) • 2 = 2х + 24; 48 – 4х = 2х + 24; 24 = 6х; х = 4. Отже, ВС = 2 • 4 = 8 см. S_ABCD = AD+BC2 • ВH = 24+82 • 83 =

= 1283 (см²).

Відповідь: 1283 см².